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miércoles, 29 de marzo de 2017
miércoles, 22 de marzo de 2017
Perímetro y Área de Polígonos
Fórmula de Herón
La fórmula de Herón se distingue de otras fórmulaspara hallar el área de un triángulo, como la de la mitad de la base por la altura o la de la mitad del módulo de un producto cruz de dos lados, por no requerir ninguna elección arbitraria de un lado como base o un vértice como origen.
Rectas y segmentos
Circunferencia en:
circunferencia.
Es una línea curva cerrada y plana formada por un conjunto de puntos que equidistan de otro punto fijo llamado centro “O”, la distancia constante del centro a todos los puntos de la circunferencia recibe el nombre de radio.
También podemos definirá a la circunferencia como el contorno o perímetro del círculo.
· Centro, el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia.
· Diámetro, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia y que necesariamente pasa por el centro.
· Cuerda, el segmento que une dos puntos de la circunferencia; (las cuerdas de longitud máxima son los diámetros).
· Semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro.
En el plano, una recta puede intersecar a una circunferencia en un punto, intersecarla en dos puntos o no intersecarla.
· Las rectas que intersecan a la circunferencia en un solo punto se llamanrectas tangentes a la circunferencia. Al punto en el que la tangente interseca a la circunferencia se llama punto de tangencia; una recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que une el punto de tangencia con el centro, por lo cual, la distancia que hay del centro a la recta tangente es igual al radio.
· Las rectas que intersecan en dos puntos a la circunferencia se llaman rectas secantes. La distancia del centro de la circunferencia a la recta secante es menor que el radio.
· Las rectas que no intersecan a la circunferencia se llaman rectas exteriores. La distancia del centro de la circunferencia a la recta exterior es mayor que el radio.
· Ángulo central tiene su vértice en el centro por lo que sus lados contienen a dos radios. La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca.
· Ángulo inscrito su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados son dos cuerdas.
· Ángulo semi-inscrito su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen una cuerda y una recta tangente a la circunferencia. El vértice es el punto de tangencia. La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que abarca.
· Ángulo interior su vértice está en el interior de la circunferencia. La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que abarcan sus lados más la del arco que abarcan sus prolongaciones.
· Ángulo exterior tiene su vértice en el exterior de la circunferencia y los lados de sus ángulos son: o secantes a ella, o uno tangente y otro secante, o tangentes a ella.
TEOREMA DEL ÁNGULO CENTRAL: La medida de un arco es la de su ángulo central correspondiente o viceversa.
AOB = AB
TEOREMA DEL ÁNGULO INSCRITO: Mide la mitad del arco que abarca.
AOB = ½ AB
Un ángulo inscrito y uno central cumplen con la siguiente relación: “la medida de un ángulo inscrito es la mitad de la medida del ángulo central que subtiende el mismo arco”.
TEOREMA DEL ÁNGULO SEMI-INSCRITO: Mide la mitad del arco que abarca.
AOB = ½ AB
TEOREMA DEL ÁNGULO INTERIOR: Mide la mitad de la suma de las medidas de los arcos que abarcan sus lados y las prolongaciones de sus lados.
AOB = ½ (AB + CD)
TEOREMA DEL ÁNGULO EXTERIOR: Mide la mitad de la diferencia entre las medidas de los arcos que abarcan sus lados sobre la circunferencia.
AOB = ½ (AB - CD)
Triángulos acutángulos, si tienen TRES ángulos agudos(menores de 90º).
En el dibujo siguiente tienes dos triángulos acutángulos.
3) Triángulos obtusángulos, si tienen UN ángulo obtuso (más de 90º).
En la siguiente figura tienes dos triángulos obtusángulos
15.76 ¿Puede un triángulo rectángulo tener, además de su ángulo recto, dos ángulos de 56º y 45º? ¿Por qué?
Respuesta: No, porque la suma de los tres ángulos debe valer 180º y en este caso, supera ese número.
15.77 Dos triángulos isósceles tienen iguales dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. ¿Son necesariamente iguales?
Respuesta: Sí.
15.78 ¿La suma de los ángulos no rectos de los triángulos rectángulos han de sumar un ángulo recto? ¿Por qué?
Respuesta: Sí, porque si el ángulo recto vale 90º los otros dos 2 ángulos no rectos tendrán que sumar 90º, de este modo, la suma de los ángulos del triángulo suman 180º
RELACIÓN ENTRE LOS ÁNGULOS Y LOS LADOS DE LOS TRIÁNGULOS
En los triángulos los ángulos dependen de los lados en cuanto a sus medidas, de ahí que podemos decir:
A) A mayor lado se opone mayor ángulo
Comprueba en la figura siguiente que a mayor lado, se oponemayor ángulo.
Lo mismo puede decirse a la inversa, a menor ángulo, se opone menor longitud de lado
B) En un triángulo, la longitud de un lado cualquiera es menor que la suma de las longitudes de los otros dos lados.
La suma de los dos lados menores será siempre mayor que el lado más grande.
En el primer triángulo la suma de los lados de menor longitud es mayor que la del lado de mayor longitud 
Lo mismo sucede en el segundo triángulo de la figura: 
C) Si un triángulo tiene sus lados iguales también serán sus ángulos opuestos.
En la figura siguiente verás en el primer triángulo que los lados a y b al tener iguales longitudes, sus ángulos opuestos miden lo mismo.
Igualmente, en el segundo triángulo los lados x e y al tener la misma longitud, sus ángulos opuestos son iguales.
Rectas y puntos notables en el triángulo
En el triángulo equilátero coinciden todas las rectas y puntos notables tratados, es decir, las medianas, las alturas, las bisectrices y las mediatrices, así como el baricentro, el ortocentro, el incentro y el circuncenro. En eltriángulo isósceles la altura relativa a la base, es mediana, bisectriz y mediatriz.
polígonos regulares e irregulares
En geometría, se le llama polígono irregular a unpolígono cuyos lados y ángulos interiores no son iguales entre sí. Los polígonos irregulares no tienen todos sus lados iguales.
Propiedades de los polígonos:
a) Suma de los ángulos interiores
1. Un polígono con n lados, tienen como suma de sus ángulos interiores 180° (n – 2)
Se toma como referencia un vértice cualquiera y se trazan (n – 2) triángulos en el polígono.
la suma de los ángulos de un triángulos es 180°.
Es fácil ver que la suma de los ángulos interiores del polígono, es la suma de los ángulos de los triángulos.
A + B + C + D + E = 190° (n – 2)
Si el polígono es regular, y se desea calcular el valor del angulo interior basta con dividir 180° (n – 2) entre el numero de lados del polígono.
Angulo interior= 
2. La suma de los ángulos exteriores de un polígono es igual a 360°
La suma de los ángulos interiores y exterior de un vértice del polígono es de 180°.
La suma de los ángulos interiores y exteriores del polígonos es 180° n.
Por lo tanto, a 180° n restamos la suma de los ángulos interiores 180° (n – 2).
180° n – 180° (n – n + 2) = 360°
Suma de ángulos exteriores = 360°
3. El total de diagonales que se pueden trazar en un polígono de n lados, se obtiene con la expresión 
(n – 3) son las diagonales que se pueden trazar de cada vértice porque siempre habrá tres vértices a los que no se pueda trazar diagonal, el vértice de donde se traza y los dos contiguos.
Cada diagonal toca dos vértices, entonces se cuenta doble cada diagonal por lo tanto:
Numero de diagonales = 
ÁNGULOS opuestos por el vértice
En geometría euclidiana dadas dos rectas r y s, del plano, que se cortan en el punto P, dos ángulos se dicenopuestos por el vértice cuando los lados de uno son semirrectas opuestas a los lados del otro ángulo
Ángulos adyacentes
Dos ángulos son adyacentes si tienen un lado y el vértice (esquina) en común
Los ángulos complementarios
son los que sumados son iguales al valor de un ángulo recto, es decir, un ángulo de 90 grados. En caso de que los lados que son comunes estén uno al lado del otro (consecutivos) el ángulo recto se apreciara, sin embargo no necesariamente los ángulos complementarios tienen que ser consecutivos, basta que la suma de ambos sea de 90º. Por ejemplo los dos ángulos no rectos de un triángulo rectángulo, son complementarios y no son consecutivos.
Los ángulos suplementarios
son aquellos que en par suman 180 grados. A diferencia de los ángulos complementarios que forman 90 grados. Siguiendo la misma propiedad y fórmula de los que se complementan entre sí, un ángulo que tenga menos de 180 grados le corresponderá un ángulo que lo suplementa según la fórmula A (ángulo suplementario) = 180° menos (-) el ángulo que necesita suplemento. Ejemplo: A = 180° – 150° = 30°.
Los Ángulos triángulo
Triángulo rectángulo: si tiene un ángulo interior recto (90°). A los dos lados que conforman el ángulo recto se les denomina catetos y al otro lado hipotenusa. Triángulooblicuángulo: cuando ninguno de sus ángulos interiores es recto (90°).
Triángulos según sus lados
Los nombres que reciben son:
1) triángulos equiláteros
Las palabras equi - látero vienen del latín: igual – lado.
Son los triángulos cuyos tres lados son iguales: 
2) triángulos isósceles
La palabra isósceles está compuesta de dos palabras griegas isoque significa igual y de la palabra skeles que podemos traducir por piernas.
La palabra isósceles está compuesta de dos palabras griegas isoque significa igual y de la palabra skeles que podemos traducir por piernas.
La palabra isósceles referido a la geometría quiere decir que dos lados (piernas) son iguales. Por lo tanto, un triángulo con dos lados iguales llamamos isósceles.
Como ves en la figura, tienes el triángulo isósceles con dos lados iguales. Si tiene 2 lados iguales tendrá también dos ángulos iguales.
3) triángulos escalenos
La palabra escaleno procede de la palabra griega skaleno que significa cojear, cojo. Nos da la idea que si el triángulo “cojea” sus lados no son iguales. Efectivamente, el triángulo escaleno tiene sus lados diferentes por lo que sus ángulos también serán diferentes.
jueves, 16 de marzo de 2017
Definición de Línea
línea, del latín linea, es un término con múltiples usos. Se trata, para la geometría, de una seguidilla de puntos que se extiende indefinidamente y de manera continua en una única dimensión.
Línea Recta
Línea recta: sucesión de infinitos puntos (no tiene principio ni fin, es decir no tiene límites) donde los
puntos están alineados en una misma dirección.
Semirrecta
El concepto de semirrecta se utiliza en geometría para identificar a cada uno de los fragmentos en que toda recta puede ser dividida por cualquiera de los puntos que la componen.
Segmento de Línea recta
Un segmento, en geometría, es un fragmento de recta que está comprendido entre dos puntos, llamados puntos extremos o finales.
Ángulo
hace referencia a una figura de la geometría que se forma a partir de dos rectas que se cortan entre sí en una misma superficie.
Un Ángulo recto
es un ángulo cuya medida es de 90°, un cuarto de
Ángulo agudo
Un ángulo agudo es un ángulo que mide más de 0º y menos de 90º.
Ángulo obtuso
Un ángulo obtuso es un ángulo que mide más de 90° pero menos de 180°
Un Ángulo Llano
es aquel que se forma cuando la dirección del vector cambia a la contraria, es decir la orientación es completamente opuesta. Para dibujar un ángulo llano completamente descrito es necesario que los dos vectores formen una sola línea pero que sus direcciones apuntes a los lados opuestos.
Ángulo entrante o cóncavo
La idea de ángulo cóncavo suele entenderse con relación a la noción de ángulo convexo.
Es todo ángulo que mida exactamente 360°, cuyos lados coinciden y que es equivale a cuatro ángulos rectos.
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